** Un jeu à rendre équitable

Dans un jeu de hasard, une machine tire au sort une première, puis une deuxième fois, de façon équiprobable, un nombre entier entre 1 et 5. On divise le premier nombre tiré par le deuxième :

• si le résultat est un nombre décimal non entier, on gagne 5 euros ;
  
• si le résultat est un nombre rationnel non décimal (ni entier, ni décimal), on perd 20 euros ;
  
• si le résultat est un nombre entier, on gagne une somme d'argent \(x\) à déterminer.
  

1. On note  `X`  la variable aléatoire égale au gain (ou perte) à l'issue d'une partie.
   a. Déterminer la loi de probabilité de  `X` .
   b. Pour quelle valeur de `x`  le jeu est-il équitable ?

2. On fixe la valeur de  `x`  à 10 euros.
   a. Quelle est alors l'espérance de  `X`  ?
   b. L'organisateur du jeu veut instaurer une mise `m`  de départ que tout joueur devra verser pour participer au jeu. Quelle valeur minimale de  `m`  doit-il choisir pour que le jeu soit favorable à l'organisateur ?

Remarques

• Un nombre décimal a une écriture décimale finie ; un nombre rationnel non décimal (et donc non entier) a une écriture décimale illimitée et périodique. 
  
• Dans l'exercice, on ne demande pas de justifier qu'un nombre est entier, décimal non entier, ou rationnel non décimal.